ルンゲクッタ法【２段・４段】

物理シミュレーションでは連続的な値を扱えないため、微分がある場合は離散化が必要となります。

離散化は空間と時間どちらに対しても必要であり、今回説明するルンゲクッタ法は時間方向の離散化を行うものです。

通常、物理シミュレーションの時間進行はある時点での値（$v^n$）に対して、変化量（$a \Delta t$）を与えて更新を行います。

ルンゲクッタ法では、この変化量を工夫して取得することで、高次精度を実現します。

ルンゲクッタ法は他の手法に比べて、メモリ使用量を抑えてかつ手軽に高精度化できます。よく使われる手法なので、理解しておくと便利です。

ここでは１段１次（オイラー法）、２段２次、４段４次のルンゲクッタ法について説明します。

１段１次のルンゲクッタ法（オイラー法）

１段１次のルンゲクッタ法は、陽的オイラー法を指します。

ここでは下記の式を用いてオイラー法を説明します。

$$ \frac{dx}{dt} = f(t) $$

$f$は$t$の関数であり、$x$が時間$t$で時々刻々と変化するとします。

その場合、次のステップ$x^{n+1}$を求めたい場合はオイラー法では下記のように書きます。

$$ x^{n+1} = x^n + f(t) \Delta t + O(\Delta t^2)$$

最後の項が誤差の次数を表す項であり、オイラー法では２次の誤差がでるため１次精度となります。

直感的に考えると１段１次のルンゲクッタ法では、下記のようにｎステップの位置の傾きを利用します。下記を見るとわかるように、ステップの幅が大きくなると大きな誤差が発生する原因となります。

２段２次では下記のように表せます。

$$k_1 = \Delta t f(x^n, t^n)$$

$$ x^{n+1} = x^n + \Delta t f(x^n + \frac{1}{2}k_1, t^n + \frac{1}{2} \Delta t) + O(\Delta t^3) $$

ここで$k_1$ はルンゲクッタ法で使われれる中間変数です。

このようにルンゲクッタ法では中間ステップをはさむことで高精度します。

直感的に考えると２段２次のルンゲクッタ法では、下記のように中間の位置の傾きを利用するため、高精度となることがわかります。

さらに高次にしていくと４次のルンゲクッタ法ができます。

$$ k_1 = \Delta t f(x^n, t^n)$$

$$ k_2 = \Delta t f(x^n + \frac{1}{2} k_1, t^n + \frac{1}{2} \Delta t ) $$

$$ k_3 = \Delta t f(x^n + \frac{1}{2} k_2, t^n + \frac{1}{2} \Delta t ) $$

$$ k_4 = \Delta t f(x^n + k_3, t^n + \Delta t)$$

$$ x^{n+1} = x^n + \Delta t (\frac{1}{6} k_1 + \frac{1}{3} k_2 + \frac{1}{3} k_3 + \frac{1}{6} k_4) +O(\Delta t^5)$$

ルンゲクッタ法では４回の修正が行われるため、その分だけ高精度となります。

ルンゲクッタ法では効率の良さの観点から、４段４次がよく利用されます。

これは、５段にしても４次精度、６段にして５次精度であるように、５段以上すると計算量のわりに精度が上がらないためです。

よって、精度が高いほど嬉しい場合は４段のルンゲクッタ法を使用し、さほど精度を求めてない場合は２段のルンゲクッタ法を使うと良いでしょう。

今回はルンゲクッタ法について説明しました。

ルンゲクッタ法は１回のステップで多段計算を行う手法であり、他にも時間離散化の手法はあります。

例えば、過去の時間ステップの情報を用いる予測子・修正子法などがあります。

他の手法に比べてルンゲクッタ法が優れているのは、メモリ使用量の少なさにあります。

１ステップ内の情報のみで計算が完結するため、他のステップの情報を保存する必要がありません。

例えば予測子・修正子法で高精度を得ようとすると、過去の数ステップ分の情報を全て保存しておく必要があり、メモリ使用量が数倍になることもあります。

これは、元々のデータ量が少なければ気になりませんが、例えば大規模計算などであればメモリ使用量が数倍になることでメモリ不足を引き起こす原因となります。

よって、数値シミュレーションなどの大規模計算で高精度を得たい場合は、ルンゲクッタ法が最善の選択肢となるでしょう。