ARモデルとARMAモデル - ITとCFD入門サイト

1. はじめに

ARモデル（AutoRegressive Model、自己回帰モデル）とARMAモデル（AutoRegressive Moving Average Model、自己回帰移動平均モデル）は、時系列データを解析するための代表的なモデルです。これらのモデルは、データが過去の値にどのように依存するかを定量的に表現し、未来のデータを予測するために用いられます。

この記事では、初心者にもわかりやすいようにARモデルとARMAモデルについて、基礎理論や数式を交えて解説し、これらのモデルの背後にある物理現象や応用についても説明していきます。

2. ARモデル（自己回帰モデル）

2.1 ARモデルの基本

ARモデルは、現在の時系列データが過去のデータに依存する構造を持ったモデルです。時点$t$におけるデータ$X_t$は、過去のいくつかのデータ$X_{t-1}, X_{t-2}, \dots, X_{t-p}$を用いて次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t
$$

ここで、

$X_t$ は時点$t$におけるデータの値、
$c$ は定数項（データの平均値や外的影響を表す）、
$\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_p$ は自己回帰係数であり、過去のデータが現在のデータに与える影響を示します、
$\epsilon_t$ は誤差項（予測誤差や外部ノイズ）です。

この式が表すのは、過去のデータがどの程度現在のデータに影響を与えるか、またその影響がどのくらい持続するかということです。モデルのパラメータ$p$は、ラグ（遅れ）の数を示し、どの時点までの過去のデータを参照するかを決定します。

2.2 AR(1)モデル

最も基本的なARモデルは、1つ前のデータのみを参照するAR(1)モデルです。AR(1)モデルは次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi X_{t-1} + \epsilon_t
$$

このモデルでは、現在のデータ$X_t$は、1期前のデータ$X_{t-1}$に依存しています。$\phi$は過去のデータが現在にどの程度影響を与えるかを示すパラメータです。

定常性条件

AR(1)モデルが定常的であるためには、次の条件が必要です。

$$
|\phi| < 1
$$

定常性とは、時間が経過しても時系列データの平均や分散が一定であることを意味します。$|\phi| \geq 1$の場合、データは非定常となり、平均や分散が時間とともに増加または減少します。

2.3 AR(p)モデル

より一般的には、$p$期前までのデータに依存するモデルをAR(p)モデルと呼びます。AR(p)モデルは次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t
$$

ここで、$p$はモデルが参照する過去のデータの範囲（ラグの数）です。$p$が大きくなるほど、モデルが過去のデータに強く依存することを意味しますが、同時にモデルの複雑さも増します。

2.4 ARモデルの応用例

ARモデルは、次のような現象に適用されます。

経済データ：株価や経済成長率など、過去の変動に依存する経済指標の予測に用いられます。
気象データ：過去の気温や降水量のデータをもとに、未来の天気予測を行う際に使用されます。
工業データ：機械の振動や温度のデータに基づいて、故障予測や性能分析が行われます。

3. ARMAモデル（自己回帰移動平均モデル）

3.1 ARMAモデルの定義

ARモデルは過去のデータに依存する一方、移動平均モデル（Moving Average Model、MAモデル）は、過去の誤差に依存するモデルです。これらを組み合わせたものがARMAモデルです。

ARMAモデルは次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q} + \epsilon_t
$$

ここで、

$\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_q$ は移動平均係数です。これらは過去の予測誤差が現在のデータに与える影響を示します。
他の変数はARモデルと同様です。

3.2 ARMA(p, q)モデル

ARMAモデルでは、過去のデータと過去の誤差の両方を考慮するため、過去の影響をより正確にモデリングすることができます。モデルのパラメータ$p$と$q$は、それぞれ過去のデータと誤差の範囲を示します。

$p$は自己回帰項のラグの数（過去のデータにどの程度依存するか）。
$q$は移動平均項のラグの数（過去の誤差にどの程度依存するか）。

3.3 ARMAモデルの理論的背景

誤差項とホワイトノイズ

ARMAモデルにおける誤差項$\epsilon_t$は、しばしばホワイトノイズと仮定されます。ホワイトノイズとは、平均がゼロで、時点間に相関がない独立なランダム変数です。すなわち、$\epsilon_t$は独立同分布であり、その分布が時点$t$ごとに変わらないことを意味します。

定常性と可逆性

ARMAモデルでは、定常性と可逆性という2つの条件が重要です。

定常性：過去のデータによって現在のデータが予測される場合、モデルが定常であるためには、ARモデルの定常性条件$|\phi| < 1$が満たされている必要があります。
可逆性：過去の誤差によって現在のデータが予測される場合、モデルが可逆であるためには、MAモデルの係数$\theta$が適切な範囲内にある必要があります。

3.4 ARMAモデルの応用

ARMAモデルは、次のような時系列データに適用されます。

経済データ：経済指標の予測において、ARMAモデルは短期的な誤差を考慮するため、より精度の高い予測が可能です。
気象データ：過去の天候データや予測誤差を統合することで、天気予測の精度を向上させます。
通信データ：通信信号の変動やノイズを解析するために、ARMAモデルが用いられます。

4. ARモデルとARMAモデルの比較

4.1 モデルの複雑さ

ARモデルは、過去のデータに基づいてシンプルに予測を行うのに対し、ARMAモデルは過去の誤差も考慮するため、より柔軟で複雑です。モデルの選択は、時系列データの特性や予測精度に依存します。

4.2 モデル選択の基準

ARモデルかARMAモデルかを

選択する際には、モデルの適合度（フィッティングの精度）や、予測精度、データに含まれるノイズの大きさが考慮されます。一般的に、データに多くのノイズが含まれている場合は、ARMAモデルの方が適しています。

5. まとめ

ARモデルとARMAモデルは、時系列データの解析において非常に重要なツールです。ARモデルは過去のデータに基づくシンプルなモデルですが、ARMAモデルは過去のデータと誤差の両方を考慮することで、より正確な予測を行うことが可能です。これらのモデルは、経済学、気象学、工学など、さまざまな分野で広く利用されています。