重回帰分析と交互作用 - ITとCFD入門サイト

1. はじめに

重回帰分析（multiple regression analysis）は、複数の独立変数が1つの従属変数にどのように影響を与えるかを分析する手法です。単純回帰分析が1つの独立変数のみを考慮するのに対し、重回帰分析では2つ以上の独立変数を用いるため、より複雑な現象や関係性を捉えることが可能です。また、重回帰分析においては、交互作用（interaction）という現象にも注意が必要です。交互作用とは、2つ以上の独立変数が互いに影響し合って従属変数に対して異なる効果をもたらす場合のことです。

本記事では、重回帰分析と交互作用の基本的な概念と、それらを物理現象や現実世界のデータ分析でどのように利用できるかについて、初心者にもわかりやすく解説します。数学的な理解を深めるために、必要に応じて数式も用いて説明します。

2. 重回帰分析とは

2.1 基本的な重回帰モデル

重回帰分析の基本的なモデルは、以下のように表されます。

$$
Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_n X_n + \varepsilon
$$

ここで、

$Y$: 従属変数（目的変数）—予測したい対象
$X_1, X_2, \dots, X_n$: 独立変数（説明変数）—従属変数に影響を与える要因
$\beta_0$: 切片（回帰直線が$Y$軸と交わる点）
$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$: 各独立変数に対応する回帰係数
$\varepsilon$: 誤差項—モデルが説明できない変動

2.2 重回帰分析の目的

重回帰分析の主な目的は、次の3点です。

予測: 複数の独立変数を使って従属変数を予測すること。
関係性の理解: 独立変数が従属変数にどの程度影響を与えるかを評価すること。
モデル構築: データの背後にあるメカニズムや構造を理解し、それを数学モデルとして表現すること。

例えば、家の価格を予測する際に、家の面積（$X_1$）、部屋の数（$X_2$）、築年数（$X_3$）が独立変数になり、価格（$Y$）を予測する重回帰モデルを構築できます。この場合、各変数の回帰係数（$\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$）は、価格に対する影響の大きさを示します。

2.3 重回帰モデルの仮定

重回帰モデルにはいくつかの重要な仮定があります。これらの仮定が満たされていない場合、分析結果が信頼できない可能性があるため、適切な仮定の検証が必要です。

線形性: 従属変数と独立変数の関係が線形であること。
独立性: 誤差項が互いに独立していること。
等分散性: 誤差項の分散が一定であること（ホモスケダスティシティ）。
正規性: 誤差項が正規分布に従うこと。

これらの仮定を満たすことで、重回帰モデルの推定結果の信頼性を高めることができます。

3. 回帰係数の解釈

重回帰分析では、各独立変数の回帰係数が非常に重要な役割を果たします。回帰係数は、独立変数が従属変数に与える影響の大きさと方向を示します。

例えば、モデルが以下の形で与えられているとします。

$$
Y = 2 + 0.5 X_1 – 0.3 X_2
$$

この場合、$X_1$の回帰係数は$0.5$であり、$X_1$が1単位増加すると、$Y$が$0.5$単位増加することを意味します。一方、$X_2$の回帰係数は$-0.3$なので、$X_2$が1単位増加すると$Y$は$0.3$単位減少します。

重要なポイントとして、回帰係数の大きさは、その変数が従属変数に対してどれだけ重要な役割を果たしているかを示す指標になります。ただし、回帰係数の解釈には単位の違いや変数間の相関関係に注意が必要です。

4. 交互作用とは

4.1 交互作用の概念

交互作用（interaction）とは、2つ以上の独立変数が一緒に働くことで、従属変数に対して異なる影響を与える現象です。つまり、ある独立変数の効果が他の独立変数の水準に依存する場合を指します。

例えば、肥料の量（$X_1$）と日光の量（$X_2$）が植物の成長（$Y$）に与える影響を考えると、肥料の効果は日光の量によって変わるかもしれません。このような状況では、肥料と日光の間に交互作用が存在すると言えます。

4.2 交互作用の表現

交互作用を含む重回帰モデルは、次のように表されます。

$$
Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 (X_1 \times X_2) + \varepsilon
$$

ここで、$X_1 \times X_2$は$X_1$と$X_2$の交互作用項を示しています。$\beta_3$は、この交互作用が従属変数$Y$にどのような影響を与えるかを示す係数です。もし$\beta_3$がゼロでない場合、$X_1$と$X_2$の間に交互作用があると言えます。

4.3 交互作用の解釈

交互作用が存在する場合、独立変数の1つが変化する際に他の独立変数の影響が変わることを意味します。例えば、上記のモデルで$X_1$が増加するとき、$X_2$の値によって$Y$の変化の仕方が異なるかもしれません。

交互作用の存在は、モデルの複雑性を増す要因となりますが、現実の現象をより正確に捉えるために重要な役割を果たします。

5. 交互作用の例

交互作用が重要な役割を果たす例として、製薬業界での薬物効果の評価があります。ある薬が特定の症状に対して効果的であるかどうかを調べる際に、薬の効果は患者の体重や年齢によって異なることがあります。このような場合、薬の量（$X_1$）と体重（$X_2$）の間に交互作用があると考えられ、重回帰分析を用いてこの関係を評価することができます。