回帰分析とT検定 - ITとCFD入門サイト

統計学は、データを解析し、パターンや関係性を見つけるための手法として広く使用されています。その中でも、回帰分析とT検定は非常に重要な手法です。回帰分析は、変数間の関係を明らかにするために使われ、T検定は平均値の差が偶然かどうかを判断するための手法です。この記事では、これらの手法について初心者にもわかるように詳しく解説し、科学的な基礎理論に基づいて説明します。

1. 回帰分析とは？

回帰分析は、独立変数（予測因子、説明変数）と従属変数（結果変数、目的変数）との関係性を解析するための統計手法です。回帰分析は、特定の変数が他の変数にどのような影響を与えるかをモデル化するために使用されます。

例えば、家の広さ（独立変数）が価格（従属変数）にどのように影響するかを知りたいとします。この場合、回帰分析を使って家の広さが価格に与える影響を数値化することができます。

1.1 単回帰分析

単回帰分析は、1つの独立変数と1つの従属変数の関係を解析するものです。この関係を表すモデルは、一般的に次のような線形方程式で表されます。

$$
y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon
$$

$y$：従属変数（目的変数）
$x$：独立変数（説明変数）
$\beta_0$：切片（$x=0$のときの$y$の値）
$\beta_1$：回帰係数（独立変数$x$の変化が$y$に与える影響）
$\epsilon$：誤差項（モデルの誤差）

この方程式は、$x$の値が変化することで、どの程度$y$が変化するかを示しています。

1.2 重回帰分析

重回帰分析は、2つ以上の独立変数が従属変数に与える影響を解析する手法です。複数の要因が結果に影響を与える場合、単回帰分析よりも重回帰分析が有効です。

重回帰分析のモデルは次のように表されます。

$$
y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_n x_n + \epsilon
$$

$x_1, x_2, \dots, x_n$：独立変数
$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$：各独立変数の回帰係数

このモデルは、複数の変数が従属変数にどのような影響を与えるかを同時に解析することができます。

1.3 最小二乗法

回帰分析では、与えられたデータに最も適合する直線（または平面）を見つけるために、最小二乗法という手法が使われます。最小二乗法は、観測された値と予測された値の差（残差）の二乗和を最小化することで、モデルを最適化します。

$$
\text{RSS} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y}_i)^2
$$

ここで、$y_i$は観測された値、$\hat{y}_i$は予測された値、$n$はデータポイントの数です。最小二乗法を使うことで、観測データに最も適合する回帰係数を見つけ出すことができます。

1.4 回帰係数の解釈

回帰係数$\beta_1$の値は、独立変数$x$が1単位変化したときに従属変数$y$がどれだけ変化するかを示します。例えば、$\beta_1 = 2$であれば、$x$が1増加すると$y$は2増加することを意味します。

切片$\beta_0$は、独立変数が0のときに従属変数がとる値を示しています。

2. T検定とは？

T検定は、2つのグループの平均値が統計的に異なるかどうかを検証するための手法です。これは、サンプルから得られたデータが偶然の結果であるか、それとも統計的に有意な差を示しているかを判断するために使用されます。

T検定は次のような状況でよく使われます。

2つの異なる治療法が患者に与える影響を比較したいとき
ある商品の購入前後での消費者の満足度を比較したいとき

2.1 T検定の基礎

T検定の基本的な考え方は、2つのグループ間の平均値の差を比較し、その差が偶然に起こる確率（p値）を計算することです。もしp値が非常に小さい場合（通常は0.05以下）、その差は偶然ではなく、統計的に有意であると判断されます。

T検定の統計量は、次の式で計算されます。

$$
t = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

$\bar{x}_1, \bar{x}_2$：2つのグループの平均値
$s_1, s_2$：2つのグループの標準偏差
$n_1, n_2$：2つのグループのサンプルサイズ

2.2 T検定の種類

T検定にはいくつかの種類があり、データの性質に応じて使い分けます。主なものとして次の3つがあります。

2.2.1 対応のないT検定（独立T検定）

2つの独立したグループの平均値を比較する場合に使用されます。例えば、2つの異なる学校の学生のテストスコアを比較する場合などです。

2.2.2 対応のあるT検定（対応T検定）

同じグループの前後のデータを比較する場合に使用されます。例えば、同じ学生がテスト前後でどれだけスコアが変わったかを比較する場合です。

2.2.3 一標本T検定

あるグループの平均値が既知の値と異なるかどうかを検証する場合に使用されます。例えば、ある地域の平均気温が過去の平均値と異なるかどうかを確認する場合です。

2.3 T検定の仮定

T検定を適用する際には、いくつかの仮定が成り立つ必要があります。

正規分布：データが正規分布に従っていること。
分散の等質性：2つのグループのデータが同じ分散を持つこと。
独立性：データポイントが互いに独立していること。

これらの仮定が成り立たない場合、T検定の結果が信頼できない可能性があります。

3. 回帰分析とT検定の関係

回帰分析とT検定は、一見すると異なる手法ですが、両者には密接な関係があります。特に、回帰分析における各回帰係数が統計的に有意であるかどうかを判断するためにT検定が使われます。

3.1 回帰係数の有意性検定

回帰分析の結果、独立変数が従属変数にどれほど影響を与えているかを示す回帰係数が得られます。しかし、その係数が統計的に有意かどうかを確認するためには、T検定を行う必要があります。これは、係数が偶然得られたものではなく、

実際に意味のあるものかどうかを確認するためです。

回帰係数に対するT値は次のように計算されます。

$$
t = \frac{\hat{\beta}}{\text{SE}(\hat{\beta})}
$$

$\hat{\beta}$：回帰係数の推定値
$\text{SE}(\hat{\beta})$：回帰係数の標準誤差

このT値をもとに、p値が計算され、回帰係数が有意かどうかを判断します。p値が0.05以下であれば、その回帰係数は統計的に有意であると判断されます。

3.2 回帰分析とT検定の違い

回帰分析とT検定は、どちらも統計的な関係を解析するための手法ですが、目的やアプローチが異なります。

回帰分析は、複数の変数間の関係を解析し、予測モデルを構築するために使用されます。
T検定は、2つのグループ間の平均値の差が偶然かどうかを判断するための手法です。

4. まとめ

回帰分析とT検定は、どちらもデータ解析において非常に強力なツールです。回帰分析は、変数間の関係を明らかにし、T検定は平均値の差が有意かどうかを判断します。