最大値、最小値、パーセンタイル

はじめに

データ分析や統計学では、データセットの特性を理解するために、さまざまな指標が用いられます。その中でも「最大値」「最小値」「パーセンタイル」は、データの分布や特性を把握するために非常に重要です。本記事では、これらの指標についての基本的な理論、計算方法、そしてそれぞれの物理現象における役割について解説します。

1. 最大値と最小値

1.1 最大値

最大値とは、与えられたデータセットの中で最も大きい値を指します。データが持つ特性を把握するための重要な指標であり、特に極端な値や異常値を検出する際に役立ちます。

1.1.1 定義と計算

与えられたデータセット $X = {x_1, x_2, …, x_n}$ の最大値は、次のように定義されます：

$$
x_{\text{max}} = \max(X) = \max(x_1, x_2, …, x_n)
$$

ここで、$n$ はデータの総数です。最大値は、データセット内の全ての値を比較し、最も大きな値を見つけることで計算されます。

1.2 最小値

最小値は、データセット内で最も小さい値を指します。最大値と同様に、データの特性を理解するための重要な指標であり、極端な値を検出するのにも役立ちます。

1.2.1 定義と計算

与えられたデータセット $X = {x_1, x_2, …, x_n}$ の最小値は、次のように定義されます：

$$
x_{\text{min}} = \min(X) = \min(x_1, x_2, …, x_n)
$$

最小値も、データセット内の全ての値を比較して、最も小さな値を見つけることで計算されます。

1.3 最大値と最小値の物理現象

最大値と最小値は、さまざまな物理現象の解析に利用されます。たとえば、気象データにおいては、日々の気温の最大値と最小値を記録することで、気候変動や極端な天候イベントを評価することができます。また、工業プロセスでは、温度や圧力の最大値と最小値を監視することで、安全性を確保するための指標として機能します。

2. パーセンタイル

2.1 定義

パーセンタイルとは、データセットを100等分したときの各部分の境界を示す指標です。特定のパーセンタイルは、その値以下のデータが全体の何パーセントを占めるかを示します。例えば、50パーセンタイル（中央値）は、データの50%がその値以下であることを意味します。

2.2 計算方法

与えられたデータセット $X = {x_1, x_2, …, x_n}$ において、$p$ パーセンタイル（$0 < p < 100$）を求める手順は次の通りです：

データを昇順にソートします。
パーセンタイルの位置を計算します： $$
k = \frac{p}{100} \times (n + 1)
$$ ここで、$k$ はデータのインデックスを示します。
$k$ が整数であれば、$x_k$ が $p$ パーセンタイルです。$k$ が整数でない場合は、次のように補間を行います： $$
P_p = x_{\lfloor k \rfloor} + (x_{\lceil k \rceil} – x_{\lfloor k \rfloor}) \times (k – \lfloor k \rfloor)
$$ ここで、$\lfloor k \rfloor$ は $k$ の切り下げ、$\lceil k \rceil$ は切り上げを示します。