自己回帰モデル（ARモデル） - ITとCFD入門サイト

1. はじめに

自己回帰モデル（AutoRegressive Model, ARモデル）は、時系列データを解析するための統計的モデルの一つです。時系列データとは、時間の経過に伴って観測されるデータのことを指し、気温の推移、株価の変動、あるいはセンサーの出力データなど、幅広い分野で用いられます。自己回帰モデルは、過去のデータの値を用いて現在のデータを予測するために使用されます。

この記事では、初心者にも分かりやすいように、自己回帰モデルの基本的な概念、理論的な背景、数式を用いた説明、物理現象への応用例について詳しく解説していきます。

2. 自己回帰モデルとは

2.1 定義

自己回帰モデルとは、ある時点$t$におけるデータを、その前の時点$t-1, t-2, …, t-p$までのデータによって予測するモデルです。このとき、$p$はラグ（または遅れ）と呼ばれ、過去何期分のデータを使うかを示しています。

ARモデルの一般的な形式は次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t
$$

ここで、

$X_t$ は時点 $t$ におけるデータの値（観測値）です。
$c$ は定数項であり、システムにおける定常的な影響を表します。
$\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_p$ は自己回帰係数であり、過去のデータが現在のデータに与える影響の強さを示します。
$\epsilon_t$ は誤差項（またはホワイトノイズ）であり、予測不能な要素やランダムな揺らぎを表します。

2.2 AR(1)モデル

自己回帰モデルの中で最も基本的な形がAR(1)モデルです。これは、現在のデータが1期前のデータにのみ依存する場合を指します。AR(1)モデルは次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi X_{t-1} + \epsilon_t
$$

ここで、$\phi$は過去1期のデータが現在のデータにどの程度影響を与えるかを示す係数です。この係数の値によって、データの性質や挙動が大きく異なります。たとえば、$\phi$が1に近い場合、過去の影響が強く、データがゆっくりと変動することを示唆します。

2.3 AR(p)モデル

より一般的な場合を考えると、現在のデータが$p$期前までのデータに依存する場合、これをAR(p)モデルと呼びます。AR(p)モデルは次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t
$$

このモデルでは、$p$期前までのデータが現在のデータに影響を与えるため、モデルの複雑さが増します。実際にデータ解析を行う際には、この$p$をどのように決定するかが重要なポイントとなります。

3. 自己回帰モデルの基礎理論

3.1 定常性と非定常性

自己回帰モデルを適用する際に重要な概念の一つが定常性（Stationarity）です。定常性とは、時系列データの統計的な性質（平均や分散など）が時間に依存しないことを指します。具体的には、定常的な時系列データでは、時間が経過しても平均値や分散が一定であり、データの変動パターンが安定しています。

自己回帰モデルを適用する際、データが定常であることが理想的です。もしデータが定常でない場合、モデルの性能が低下したり、予測が不安定になったりする可能性があります。

3.2 定常条件

AR(1)モデルが定常性を持つためには、次の条件が満たされている必要があります。

$$
|\phi| < 1
$$

この条件が満たされていると、時系列データの平均や分散が時間の経過に対して一定の値に収束し、データが定常的になることが保証されます。逆に、$|\phi| \geq 1$の場合、データが非定常となり、平均や分散が時間とともに増加または減少する可能性があります。

3.3 予測誤差と残差

自己回帰モデルを用いて予測を行う際、実際のデータとモデルによる予測値との誤差が発生します。この誤差を残差（Residual）と呼びます。残差は、モデルが捉えられなかったデータの変動や予測誤差を反映しています。

残差が小さいほど、モデルの予測性能が高いことを意味します。したがって、モデルの適合度を評価する際には、残差の分析が重要です。

4. 自己回帰モデルの応用

自己回帰モデルは、様々な分野で応用されています。以下に、いくつかの代表的な応用例を紹介します。

4.1 経済学における応用

自己回帰モデルは、経済学の分野で特に広く使用されています。例えば、株価の変動やGDP（国内総生産）の推移など、経済指標の予測に用いられます。これらのデータは時系列的な構造を持つため、自己回帰モデルを使用することで、過去のデータに基づいて未来の変動を予測することができます。

4.2 気象学における応用

気象データもまた、時系列データの代表例です。例えば、過去の気温や降水量のデータをもとに、未来の天気を予測する際に自己回帰モデルが活用されます。気象学においては、ARモデルだけでなく、他の時系列モデル（例えば、ARMAモデルやARIMAモデル）も併用されることが多いです。

4.3 工学における応用

工学の分野では、センサーや機械装置から得られる時系列データを解析する際に、自己回帰モデルが使用されます。例えば、振動データや温度データの変動を解析することで、機械の故障予測や性能評価を行うことが可能です。

5. ARモデルの拡張

自己回帰モデルには、様々な拡張があります。これらの拡張モデルは、より複雑なデータや非定常データに対しても適用可能です。以下に代表的な拡張モデルを紹介します。

5.1 ARMAモデル

ARMAモデル（AutoRegressive Moving Average Model）は、自己回帰モデル（ARモデル）と移動平均モデル（MAモデル）を組み合わせたモデルです。ARMAモデルは、次のように表されます。

$$
X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q} + \epsilon_t
$$

ここで、$\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_q$は移動平均係数です。このモデルでは、過去のデータだけでなく、過去の予測誤差も考慮することで、より柔軟な予測が可能となります。

5.2 ARIMAモデル

ARIMAモデル（AutoRegressive Integrated Moving Average Model）は、ARMAモデルをさらに拡張したも

ので、非定常データに対しても適用可能です。ARIMAモデルは、データの差分をとることで非定常データを定常化し、その後にARMAモデルを適用します。

ARIMAモデルは、経済学や金融分野で広く利用されており、株価や経済指標の長期的な予測に使用されます。

5.3 SARIMAモデル

SARIMAモデル（Seasonal ARIMA Model）は、ARIMAモデルに季節性を考慮したモデルです。例えば、気象データや経済データには季節的な変動が見られることが多く、SARIMAモデルはこれらの季節性を取り入れることで、より精度の高い予測が可能です。

6. まとめ

自己回帰モデル（ARモデル）は、時系列データの解析や予測において非常に有用なツールです。AR(1)モデルやAR(p)モデルの基本的な概念から始め、定常性や誤差の概念、さらにはARモデルの拡張としてのARMAやARIMAモデルに至るまで、幅広く理解することで、実際のデータに対して適切なモデルを選択できるようになります。

自己回帰モデルは、経済学、気象学、工学など多くの分野で活用されており、時系列データを理解し、予測するための強力な手段です。